Эден Азар родился 7 января 1991 года в бельгийском городе Ла Лувир в футбольной семье: отец Тьерри выступал на полупрофессиональном уровне за клуб «Ла Лувьер» во втором дивизионе Бельгии, а мать Карин играла на позиции нападающей в высшем женском дивизионе чемпионата Бельгии. Братья Эдена также занимаются футболом, Торган Азар (род. 1993) играл во всех юниорских и молодёжных сборных Бельгии, а на клубном уровне выступает за «Ланс» (наиболее принципиального соперника «Лилля»), дебютировав в основном составе своего клуба в начале сезона 2011/2012 в возрасте 18 лет. Два других младших брата Эдена — Килиан и Этан.

Молодёжная карьера Эдена началась в 1995 году, когда он стал выступать за юношеский клуб «Ройал Стад Брайно». Азар выступал за клуб до 2003 года, пока не перебрался в академию футбольного клуба «Тубиз», где пробыл лишь два года.

В 2005 году академию посетили скауты из французского клуба «Лилль», которые в свою очередь обратили внимание на молодого полузащитника. Эден впечатлил скаутов своей игрой и они приняли решение пригласить молодого таланта в свою академию. Эден Азар получил шанс, которым обязательно хотел воспользоваться.

В 2007 году Эден закончил молодёжную карьеру, подписав профессиональный контракт, первый в своей жизни, с клубом «Лилль». Главный тренер доверял атакующему полузащитнику, несмотря на его юный возраст. С первого сезона Эден выступает в основном составе клуба, периодически выходя на замену. С 2007 года Эден сыграл за клуб 130 матчей, забив 30 мячей.

С 2006 по 2009 год Эден Азар приглашался на матчи молодёжных сборных до 17 и 19 лет, сыграв за них 26 матчей и забив 10 мячей. С 2008 года Эден Азар принимает участие в матчах национальной сборной Бельгии, сыграв за неё 26 матчей и забив 1 мяч.

В сезоне 2009/10 вновь был признан лучшим молодым игроком, а также вошёл в символическую сборную по итогам сезона. В сезоне 2010/11 вместе со своей командой стал чемпионом Франции. Он забил 7 мячей и отдал 9 результативных передач и был признан лучшим игроком Франции сезона 2010/11 и опять же вошёл в символическую сборную. Еще в конце 2010 года им стали интересоваться ведущие клубы различных стран, в мае же слухи о его переходе стали всё чаще появляться в прессе.

28 мая 2012 года в своём твиттере объявил о переходе «к победителям Лиги чемпионов». Предполагается, что это лондонский «Челси».

4 июня 2012 года лондонский клуб «Челси» подтвердил приобретение Эдена Азара. Как сообщает официальный сайт «Челси», бельгиец успешно прошел медобследование и подписал контракт.

19 августа 2012 года Азар провел свой первый матч в Премьер-лиге в составе «Челси». В поединке против «Уигана» Эден отдал результативный пас и заработал пенальти, который реализовал Фрэнк Лэмпард. В итоге «Челси» победило со счетом 2:0.

25 августа 2012 года Азар забил свой первый гол за «Челси», в матче против «Ньюкасла» Эден реализовал пенальти, чем помог своей команде победить со счетом 2:0.

Дебют Эдена в Лиге чемпионов за «Челси» состоялся в матче группового этапа против туринского «Ювентуса».

6 октября 2012 года Азар отличился вторым забитым голом за клуб в матче Премьер-лиги против «Норвича», который «синие» выиграли со счетом 4:1.

Всего в первом сезоне за «Челси» Азар отличился 9 забитыми голами в Премьер-лиге и 3 в Кубке Англии. Вместе с клубом Азар стал победителем Лиги Европы и достиг третьего места в Премьер-лиге.

В сезоне 2013/2014, в матче против «Ньюкасла», Азар оформил первый свой хет-трик за «синих», чем помог клубу победить со счетом 3:0.

В этом сезоне Азар забил 14 голов в Премьер-лиге и стал лучшим бомбардиром клуба.

27 апреля 2014 года Эден Азар выиграл премию «Молодой игрок года по версии ПФА». Эден стал первым бельгийцем сумевшем ее завоевать.

В составе юношеской сборной Бельгии дошёл до полуфинала на домашнем чемпионате Европы среди юношей до 17 лет 2007 года и был последним в группе на чемпионате мира того же года в той же возрастной категории.

19 ноября 2008 года в возрасте 17 лет дебютировал в составе главной сборной страны, выйдя на замену в матче с Люксембургом.

7 октября 2011 года забил свой первый мяч за сборную, поразив ворота Казахстана в отборочном матче чемпионата Европы 2012 года, куда сборной Бельгии в итоге пробиться не удалось.

В 2012-2013 годах Эден благодаря нескольким забитым мячам помог своей сборной завоевать путевку на Чемпионат мира 2014.