Родился 13 июля 1944 года в Москве.

В четыре года остался без отца: 36-летний актер Владимир Клюев на гастролях слег с сердечным приступом и уже не вышел из больницы. Овдовевшая в 29 лет, мама Бориса больше не вышла замуж из-за неприязни сына к любому мужчине.

Клюев не был прилежным учеником и от окончательного падения спасла актриса Клавдия Половикова, мама актрисы Валентины Серовой, которая поставила в школе спектакль "Чертова мельница". После премьеры юный артист, сыгравший черта первого разряда, проснулся местной знаменитостью.

Мечта поступить в Щукинское училище, которое закончил отец, не осуществилась - сдал все экзамены, но в администрации предложили забрать документы из-за предстоящего призыва в армию. Клюев, не теряя времени, перешел в училище им.Щепкина. Правда, от трех лет военной службы это не уберегло.

В 1969 году окончил Театральное училище имени М.С. Щепкина (курс Л.А. Волкова). С этого же года - актёр Малого театра.

Как и все молодые актеры, Клюев начинал фактически с массовки. Обидного в этом ничего не было: в советские времена театр был достаточно консервативным, и чтобы доказать свою состоятельность вчерашним студентам приходилось по нескольку лет играть бессловесные роли.

У Клюева этот период оказался недолгим. «Старики» встретили молодого актера очень доброжелательно. А после его роли в спектакле «Дачники», где он очень удачно сыграл роль любовника героини Элины Авраамовны Быстрицкой, что называется «приняли» и стали считать «своим». Поверил в него и режиссер. Уже в 1970 году Леонид Верпаховский доверил Клюеву сложную и интересную роль Сергея Синицына в спектакле «Так и будет» по пьесе Константина Симонова.

За долгие годы работы Борис Клюев стал ведущим актером Малого театра. Борис Владимирович органично соединяет в себе качества характерного и драматического актера, и это позволяет ему создавать на сцене незабываемые образы.

Советский кинематограф долгое время не мог предоставить ролей достойных таланта Бориса Клюева. В 70-е годы он периодически появлялся в исторических лентах: «Крушение империи», «Рудобельская республика», «Хождение по мукам». Запомнилась также его блестящая роль Рошфора в легендарном фильме «Д'Артаньян и три мушкетера». В начале 80-х актер снялся в ряде фильмов из серии «Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона», сыграв Майкрофта Холмса, брата знаменитого сыщика.

Популярность же к Борису Клюеву пришла с фильмом «ТАСС уполномочен заявить...», где ему досталась самая отрицательная роль - шпиона Трианона. Актер исполнил ее так мастерски, с таким «злодейским» обаянием, что цензоры решили ее существенно урезать. Но даже в таком урезанном виде Клюев сумел покорить сердца миллионов людей.

В новом веке, с приходом на экраны волны криминальных лент, Бориса Клюева стали нередко использовать в ролях различных генералов и военных функционеров. Актер снялся в таких известных сериалах и фильмах, как: «Д.Д.Д. Досье детектива Дубровского», «На углу у Патриарших», «Каменская», «Девять неизвестных», «Любовь моя», «Слепой», «Защита Красина – 2» и других.

В активе актера есть также адвокат («Вопреки здравому смыслу»), учитель физкультуры «Бальзаковский возраст, или Все мужики сво...», банкир («Все смешалось в доме»), президент США («07-й меняет курс»).

В 2008 году Борис Клюев впервые в своей карьере сыграл врача - профессора, заведующего терапевтическим отделением Михаила Ильича Тышкевича в фильме «Общая терапия». Сыграл очень убедительно. Кстати, друзья-медики не раз ему говорили, что из него действительно вышел бы отличный врач, ведь Борису Владимировичу присущи в жизни дисциплинированность и ответственность. Успешной стали и роль обаятельного, ироничного пенсионера Николая Петровича Воронина в комедийном сериале «Воронины», вышедшем на экраны в 2010 году.