Александр Борисович Годунов родился 28 ноября 1949 на Сахалине. В 1958 году он поступил в Рижское хореографическое училище, которое окончил в 1967 году по классу педагогов Ю. Капралиса и А. Экиса.

С 1967 по 1971 год Годунов танцевал в Государственном хореографическом ансамбле "Классический балет" ("Молодой балет"), которым в те годы руководил Игорь Моисеев. В ансамбле работали выдающиеся педагоги - заместителем художественного руководителя и ответственным педагогом-репетитором была Суламифь Мессерер, мужской класс давал Асаф Мессерер.

Подготовив первую программу и показав ее в мае 1968 года в Смоленске, ансамбль стал гастролировать по стране, затем начались длительные зарубежные гастроли. В ансамбле работали молодые танцовщики, ставшие затем звездами балета: Тийт Хярм - будущий премьер театра "Эстония", Вилен Галстян, в дальнейшем ведущий танцовщик Армении, Дмитрий Брянцев, добившийся известности как балетмейстер.

Александр Годунов участвовал в триптихе "Поэзия чувств" И.Моисеева на музыку Мендельсона, "Мимолетностях" К.Голейзовского на музыку С. Прокофьева.

В труппу Большого театра Александр Годунов был принят после конкурсного экзамена в 1971 году, и его педагогом-репетитором стал Алексей Ермолаев, великий танцовщик и актер. Впоследствии Годунов говорил, что Ермолаев был его любимым учителем.

Первой ролью Годунова на сцене Большого театра было па-де-труа в первой картине "Лебединого озера" в редакции Горского-Мессерера. Этот балет в те годы шел на сцене Большого театра в двух редакциях. В июне 1971 года Годунов дебютировал в партии Принца в редакции Юрия Григоровича.

Партнершей Александра Годунова в первых спектаклях была Римма Карельская, а в ноябре 1971 года он уже сам был партнером Татьяны Голиковой, дебютировавшей в партии Одетты-Одиллии. Критики заметили дебют танцовщика: "Тонкая нюансировка роли, богатство эмоциональных оттенков и полутонов при сдержанности, скупости жеста и мимики позволяют говорить о безусловной актерской одаренности танцовщика....молодой артист показал, что его пластический голос уверенно звучит во всех регистрах классического танца", - писал Юрий Тюрин.

В книге, вышедшей к 200-х сотлетию Большого театра, в статье А.Демидова, посвященной "Лебединому озеру", говорится, что тема трагической встречи с судьбой из всех исполнителей роли Принца активнее всего звучит у молодого танцовщика Александра Годунова: "Его Принц изящен, элегантен, он органично вписывается в окружающую его атмосферу ритуальной роскоши. Но в монологе властно и мощно звучит тема душевного смятения ...Актеру удается пластически передать внутреннее душевное стремление, мечтательность и как бы зарождение в самом Принце лебединой темы - на протяжных вытянутых линиях и гибкости, тягучести поз".

В 1972 году Александр Годунов принял участие во Всесоюзном конкурсе артистов балета и получил Первую премию. Его партнершей на конкурсе была солистка Большого театра Татьяна Голикова. В первом туре они танцевали па-де-де из "Дон-Кихота", во втором - хореографическую миниатюру "Двое", поставленную Владимиром Васильевым, в третьем туре - па-де-де из "Лебединого озера". На 1972 год также пришелся дебют Александра Годунова в "Шопениане". Критик Владимир Голубин писал об этом спектакле: "Юноша Годунова кажется зримым отзвуком музыки Шопена. Его легкий и изящный по рисунку танец безупречен".

В 1972 году состоялась премьера балета Родиона Щедрина "Анна Каренина", балетмейстером-постановщиком которого была Майя Плисецкая. Она пригласила Александра Годунова выступить в партии Вронского, в дуэте с Мариной Кондратьевой. Через некоторое время Александр Годунов стал танцевать этот балет с Майей Плисецкой, вскоре стал ее постоянным партнером в "Лебедином озере", а с 1974 года в "Кармен-Сюите" (хореография Альберто Алонсо) и "Гибели розы" (хореография Ролана Пети). Они были замечательным дуэтом. В своей книге Майя Плисецкая писала о Годунове:

"Александр Годунов был могуч, горделив, высок. Сноп соломенных волос, делавший его похожим на скандинава, полыхал на ветру годуновского неповторимого пируэта. Он лучше танцевал, чем держал партнершу. Человек был верный, порядочный, совершенно беззащитный, вопреки своей мужественной внешности".

В 1973 году Александр Годунов принял участие во Втором Московском международном конкурсе артистов балета и получил Первую премию и золотую медаль. Он танцевал с Людмилой Сморгачевой, балериной из Киева. В первом туре они исполнили па-де-де из "Корсара", во втором туре - па-де-де из "Дон-Кихота" и адажио из "Спартака", в третьем - па-де-де из "Лебединого озера". На заключительном концерте Годунов танцевал вариацию из па-де-де "Дон-Кихота" и адажио из "Спартака". В том же году Александр Годунов дебютировал в партии Базиля в "Дон-Кихоте", его первой Китри была Нина Сорокина. Впоследствии он много раз танцевал этот балет, и его партнершами были Раиса Стручкова, Светлана Адырхаева и Людмила Семеняка.

Примерно в течение 5 лет работы в Большом театре Александр Годунов был "невыездным". Поскольку, в то время как другие премьеры много времени проводили на гастролях, Годунов очень много танцевал на сцене Большого театра, репертуар его стал на редкость разнообразным. Новые роли следовали одна за другой. И если после дебюта в "Лебедином озере" критик В. Никольский писал, что "...в танце Годунова нет особой экспрессии, искрометности.

Туры его в меру динамичны и четки по форме, прыжки чуть замедлены и как бы продлены в воздухе", то анализируя его последующие работы пресса уже говорила о "страстности, неистовости" его Спартака, "ошеломляющем по динамике" танце Ивана Грозного, о тончайшем психологизме танцовщика в партии Хозе, о том что "па-де-де из "Дон-Кихота" Годунов станцевал настолько виртуозно, что заставил забыть о естественном пределе человеческих возможностей".

В 1976 году Годунову было присвоено звание заслуженного артиста РСФСР. В 1979 году состоялась премьера балета С.Прокофьева "Ромео и Джульетта" в постановке Юрия Григоровича, в котором Годунов стал первым исполнителем партии Тибальда.

В августе 1979 года, во время гастролей Большого театра, Александр Годунов остался в США. Это событие привлекло внимание всей мировой прессы, потому что в аэропорту американскими властями был задержан самолет, на котором в СССР возвращалась жена Александра Годунова - солистка Большого театра Людмила Власова. Американские власти считали, что Власову против воли вынуждают вернуться в СССР, и требовали дать ей возможность поговорить с мужем. В результате разговор все же не состоялся, и Людмила вернулась в Москву.

Годунов был принят в Американский Балетный Театр, лучший репертуарный театр США.

Газеты сообщали, что ему положено жалованье 150 тысяч долларов в год. Таким образом, Годунов становился одним из самых высокооплачиваемых премьеров в мире, и это вызвало протест труппы. Кордебалет требовал повышения зарплаты, негодуя, что деньги пойдут новому артисту, а не основным танцовщикам труппы, и устроил забастовку. В связи с этим были отменены гастроли АБТ в Вашингтоне, где "пришелец" должен был впервые появиться перед публикой.

Годунов благородно предложил расторгнуть контракт, но директора театра его отговорили. В результате он впервые вышел на сцену в Америке только спустя полгода после побега, на гастролях АБТ в Чикаго. В этой прославленной труппе Годунов танцевал главные партии в "Дон Кихоте", "Жизели", "Лебедином озере", "Теме с вариациями", па де де из "Корсара", его партнершами были Наталья Макарова, Ева Евдокимова, Синтия Грегори и другие балерины.

В 1981 году Годунов параллельно с работой в АБТ сотрудничал с балетом Алвина Эйли.

Из-за конфликта с Михаилом Барышниковым Годунов был вынужден покинуть труппу Американского театра балета в 1982 году.

Уйдя из АБТ, Годунов переехал в Калифорнию и продолжал танцевать по приглашению компаний в разных странах мира. Танцовщик предпринял короткую попытку гастролировать самостоятельно с группой под названием "Годунов и звезды". Группа совершила тур по небольшим городам США. Эпизоды этого турне сняты в документальном фильме, посвященном творчеству Годунова, "The World to Dance In". За несколько лет он успел станцевать на различных сценах мира, в том числе в театре "Колон" в Буэнос-Айресе, в балете Асами Маки в Токио, гастролировал в Израиле. Критики отмечали как самое удачное выступление Годунова его исполнение роли Отелло в балете Хосе Лимона "Павана Мавра" на фестивале в Сполетто.

Дальнейшая работа Годунова в балете была сопряжена с рядом разочарований, не состоялись турне с балериной Галиной Пановой по Америке. Годунов отказался от приглашения в 1985 году поступить первым танцовщиком в Королевский балет Фландрии, которым тогда руководил Валерий Панов. Его манило кино.

Пресса писала: "Встреча с известной кинозвездой Жаклин Биссет, компаньоном которой он стал, изменила его судьбу. Голливуд стал для него реальностью, а не далекой мечтой большого танцовщика. Его выигрышная фотогеничная внешность, недюжинное актерское дарование, блестящая фигура должны были принести ему успех в кино". И действительно, его дебют в фильме "Свидетель", с Гаррисоном Фордом в главной роли, где он проникновенно и точно сыграл роль немого фермера из поселения Эмиш, был на редкость удачен и отмечен критикой. Однако приглашений на главные роли не последовало, в дальнейшем его приглашали на роли второго плана. Всего он снялся в восьми фильмах. Наиболее заметные - "Свидетель" и "Крепкий орешек".

В 1985 году Годунов прекратил выступать как танцовщик, но продолжал поддерживать форму, брать балетные уроки в Лос Анжелесе, в балетной Академии Давида Лишина, которой руководила прима-балерина Балета полковника де Базиля Татьяна Рябушинская. В Голливуде Годунов подружился с работающими в США танцовщиками Большого театра Аллой Ханиашвили и Виталием Артюшкиным, которым он помогал им в работе. В апреле 1995 года Годунов снялся в Будапеште в фильме "Зона" и впервые со времени своего отъезда в США побывал в Риге, где встретился со своей семьей: матерью, братом, племянниками.

18 мая 1995 году Александр Годунов скончался на своей вилле в Западном Голливуде. Врачи не обнаружили ни следов насилия, ни травм, ни признаков алкоголя или наркотиков в крови. Городской шериф констатировал смерть, вызванную естественными причинами. Похороны состоялись 25 мая в Лос-Анджелесе, его хоронили в закрытом гробу. Иосиф Бродский написал в некрологе: "Я считаю, что он не прижился и умер от одиночества".

Брак Александра Годунова с Людмилой Власовой был расторгнут в 1982 году. Американское гражданство он получил в 1987 году. Его семилетний союз с известной актрисой Жаклин Биссет не был официально оформлен и распался в 1988 г.

В 1999 году в журнале "Балет" вышла статья, посвященная 50-летию со дня рождения Годунова. Ее автор, Владимир Седов, писал: " Годунов обладал исключительной фактурой, уникальными природными данными: необыкновенно высокий, необыкновенно стройный, красивый, идеально пропорциональный, как античная скульптура. Словом, прирожденный танцовщик. Легкость его огромного, словно зависающего в воздухе прыжка, блестящее виртуозное вращение, мягкое и динамичное, выразительность жеста, красота линий, завершенность формы, графические позы, одним словом феноменальное владение своим телом - безоговорочно ставят Годунова в число первых танцовщиков".

Годы проходят, появляются новые исполнители, но масштаб фигуры Годунова, для видевших его на сцене, становится все значительней, ведь как танцовщик он обладал тремя качествами, которые одновременно не встречаются практически никогда: беспредельной виртуозностью в сочетании со стройностью и красотой линий и тонкой и очень современной актерской индивидуальностью.

Иосиф Бродский назвал Александра Годунова "великим одиночкой".