Александр Белявский родился 6 мая 1932 года в Москве в семье Бориса Моисеевича и Любови Александровны Белявских.

Окончил геологоразведочный факультет Московского института цветных металлов и золота (1955, ныне - Государственный университет цветных металлов и золота).

Окончил Театральное училище имени Б.В. Щукина (1961).

В 1955 году, после защиты диплома, Белявский уехал в Иркутск, где поступил на работу в Восточно-Сибирское геологическое управление.

В Иркутске он дебютировал на сцене Иркутского областного драмтеатра в самодеятельном спектакле Геологического управления "Горе от ума". Белявский исполнил роль Молчалина. И спектакль, и работа молодого актера были замечены и одобрены в газете "Восточно-Сибирская правда".

После возвращения в Москву Александр поступил на должность младшего научного сотрудника в Институт НИТРИЗолото, продолжал участвовать в самодеятельных спектаклях Дома учителя.

В марте 1957 года Белявский уволился из института и решил поступать в театральное училище. Он был принят в Щукинское училище при Театре имени Вахтангова.

Летом 1957 года Александр начал сниматься в своем первом кинофильме "Рассказы о Ленине", сыграв роль молодого рабочего Коли. В 1961 году, получив диплом с отличием и став артистом театра и кино, Александр был приглашен на работу в Московский Театр Сатиры.

В 1964 году снялся в главной роли в фильме польского режиссера Леонарда Бучковского "Прерванный полет". Во время работы в Варшаве актер овладел польским языком, после чего работал еще в шести польских фильмах, в том числе в популярном сериале "Четыре танкиста и собака"(1966), в котором он сыграл роль советского капитана Павлова.

В 1964 - 1966 годах Белявский был актером труппы Московского драматического театра имени К. С. Станиславского.

С 1966 года Белявский работал в Театре-студии киноактера.

Был первым ведущим знаменитого в 1960-70-е годы телевизионного «Кабачка 13 стульев». Участвовал в телепрограмме «Белый попугай». Был одним из ведущих актёров дубляжа кинофильмов в 1980-е годы, в том числе стал российским голосом британского комика Бенни Хилла.

Всего в кино, в том числе зарубежном, так как Белявский снимался в Польше, ГДР, Северной Корее, Финляндии, Франции, Чехословакии, США, актером было сыграно более 100 ролей.

Самыми запомнившимися для зрителя работами Белявского стали роль Саши в комедии Эльдара Рязанова "Ирония судьбы, или С легким паром" (1975) и роль Фокса в телесериале режиссера Станислава Говорухина "Место встречи изменить нельзя" (1979).

Из работ позднего периода удачными стали роли: Леонида Брежнева в фильме режиссера Игоря Гостева "Серые волки" (1991), адмирала из комедии Романа Кочанова "ДМБ" (2000); криминального авторитета по кличке Король в фильме Егора Кончаловского "Антикиллер" (2001); российского адмирала в блокбастере Фила Алдена Робинсона "Цена страха" (2002).

Погиб 8 сентября 2012 года в Москве.