Анне Тынисовна Вески родилась 27 февраля 1956 года в городе Рапла (Эстония). Будущая певица с успехом окончила музыкальную школу в 1971 году, а в 1978 году – политехнический институт в Таллине.

После окончания института стала вокалисткой и исполнительницей своих песен в ансамбле «Мобиле». Так началась ее профессиональная музыкальная деятельность. В 1977 году Анне стала лауреатом эстонского конкурса «Два такта вперед». В 1979-1980 годах Анне Вески училась в эстрадной студии при филармонии Эстонии.

В 1980 году она выступала с коллективом «Витамин». В 1981 году компания «Мелодия» выпустила альбом группы, а об Анне Вески был снят фильм «Снежные напевы».

В 1983-1984 годах она выступала вместе с коллективом «Мьюзик сейф», а также с Тынисом Мяги.

Наконец, в 1984 году началась сольная карьера певицы вместе с ее ансамблем «Немо». В этом году она также стала Заслуженной артисткой Эстонии.

В 1987 году Вески получила Золотую медаль на международном конкурсе, а в 1994 году – на международном музыкальном конкурсе премию за песню «Позади крутой поворот», а также за лучшее исполнение песни «Полька».

В 2002 году Анне Вески получила два Золотых диска за лучшие продажи альбомов среди исполнителей Эстонии.

Певица активно записывает альбомы, участвует во многих телепрограммах, многократно выходила в финал фестиваля «Песня года». В 2007 году она стала участницей проекта «Ты – суперстар!». У певицы своя студия звукозаписи «An & Ben».

Замужем вторым браком за Бенно Бельчиковым, который является её администратором. После заключения брака в течение полугода носила фамилию Бельчикова.

От первого брака с Яаком Вески имеет дочь Керли, которая работала в 2004—2007 гг. консулом Эстонской Республики в Москве.