Алексей Климушкин родился в 1965 году в Ленинграде. В детстве он мечтал стать космонавтом, но пришло время выбирать вуз, и Алексей поступил в институт инженеров железнодорожного транспорта. А потом парень ушел в армию, службу проходил в военно-морском флоте. Вернувшись, Алексей решил стать актером и поступил в 1987 году в ЛГИТМиК. Его однокурсниками стали Дмитрий Нагиев и Игорь Лифанов. Это была самая веселая троица на курсе, которая постоянно придумывала розыгрыши и сценарии к капустникам.

В 1992 году состоялся кинодебют Климушкина. Он сыграл в фильме «Билет в красный театр, или Смерть гробокопателя». И после же этой работы артист ушел на радио. Алексей выступал под псевдонимом Аркадий Арнаутский на «Радио Модерн» и «Nostalgie».

Периодически артист возвращался в кино, но снимался лишь в эпизодах, которые ему предлагали. В какой-то момент Алексей решил оставить актерскую деятельность и заняться режиссурой. Однако его друг уговорил пройти кастинг в один сериал. И вскоре Климушкина утвердили на роль олигарха Сергеева в популярном ныне ситкоме «Универ». Актер признается, что образ своего персонажа списал с… себя! Хотя Алексей никогда не был олигархом, но в остальном Сильвестр на него очень похож.

Алексею Климушкину нравится работа в «Универе». Но актер боится стать заложником своей роли. Он не желает всю жизнь оставаться Сергеевым, ведь талант Климушкина намного шире. В 2009 году Алексей принял участие в драме «Весельчаки». Этот фильм рассказывает историю об артистах травести-шоу. Климушкин играл роль Фиры. И хотя актерский состав был «звездным», картина не получила должного признания.