Андрей Константинович Гейм родился 21 октября 1958 года в Сочи. Его родители, Константин Алексеевич Гейм и Нина Николаевна Байер были инженерами, по национальности - поволжскими немцами.

С 1965 по 1975 год Гейм жил и учился в школе №3 в Нальчике, которую окончил с золотой медалью. После окончания школы он попытался поступить в Московский инженерно-физический институт (МИФИ), однако его там отказались принимать из-за национальности. Поэтому он один год проработал слесарем на Нальчикском электровакуумном заводе, главным инженером которого был его отец.

В 1976 году Гейм снова получил отказ в МИФИ и поступил в Московский физико-технический институт (МФТИ), где защитил в 1982 году диплом. После этого Гейм начал работать аспирантом в Институте физики твердого тела АН СССР (ИФТТ), где в 1987 году защитил кандидатскую диссертацию (впоследствии в анкетах это научное звание упоминал как Ph.D.), после чего три года работал научным сотрудником в Институте проблем микроэлектроники и особочистых материалов в Черноголовке, созданного на базе ИФТТ. В Черноловке Гейм занимался металлической физикой, которая ему, по собственным словам, быстро надоела.

В 1990 году Гейм отправился в Великобританию на стажировку в Ноттингемский университет (University of Nottingham) и больше уже в СССР и России не работал.

В 1992 году он занимался наукой в Университете Бат (University of Bath), с 1993 по 1994 год работал в Копенгагенском университете (University of Copenhagen).

В 1994 году Гейм стал исследователем, а с 2000 года - профессором Университета Неймегена (University of Nijmegen) в Нидерландах. Он получил гражданство этой страны, отказавшись от российского и исправив имя на Andre Geim. Параллельно, с 1998 по 2000 год Гейм был специальным профессором Ноттингемского университета.

В 2000 году Гейм вместе с Майклом Берри (Michael Berry) получил Шнобелевскую (антинобелевскую) премию за статью 1997 года, в которой описывался эксперимент в области диамагнитной левитации - соавторы добились левитации лягушки при помощи сверхпроводящего магнита. Также пресса отмечала, что Гейм сумел создать липкую ленту, действующую по механизмам прилипания у геккона, а в 2001 году в соавторы одной статьи включил хомяка "Тишу" (H.A.M.S. ter Tisha).

В 2000 году Гейм с супругой получил приглашение в Манчестерский университет (University of Manchester) и через год уехал из Нидерландов, оставив отрицательный отзыв о местной научной среде. Он стал профессором физики Манчестерского университета и занимал этот пост до 2007 года.

В 2002 году он возглавил отдел физики конденсированного состояния, а также центр мезоскопической физики и нанотехнологий (Centre for Mesoscience & Nanotechnology) этого университета.

С 2007 года он занял должность Лэнгуортиевского профессора физики (Langworthy Professor of Physics) Манчестерского университета.

В 2004 году Гейм вместе со своим учеником Константином Новоселовым открыл графен - двумерный слой графита толщиной в один атом, обладающий хорошей теплопроводностью, большой механической жесткостью и другими полезными свойствами.

В 2007 году за это открытие Гейм был удостоен премии Мотта (Mott Prize) международного Института физики (Institute of Physics), а в 2009 году стал профессором Королевского общества Великобритании по развитию естествознания (Royal Society of London for Improving Natural Knowledge).

В 2010 году Гейм был удостоен награды Джона Карти (John J Carty Award) Национальной академии США (US National Academy of Sciences) и медали имени Хьюза (Hughes Medal) Королевского общества Великобритании.

В 2006 году Scientific American включил Гейма в список 50 самых влиятельных ученых мира, а в 2008 году "Русский Newsweek" назвал Гейма одним из десяти самых талантливых российских ученых-эмигрантов.

Всего к 2010 году Гейм опубликовал более 180 научных трудов в рецензируемых изданиях.

В октябре 2010 года Гейм и Новоселов были удостоены Нобелевской премии по физике "за основополагающие эксперименты с двумерным материалом графеном".

После известия о присуждения выходцам из России Нобелевской премии их пригласили на работу российский в инновационный центр "Сколково", однако Гейм в интервью заявил, что возвращаться на родину не собирается: "Оставаться в России было для меня все равно, что жизнь потратить на борьбу с ветряными мельницами, а работа для меня - хобби, и тратить свою жизнь на мышиную возню абсолютно не хотелось". Тогда же он назвал себя в интервью "европейцем и на 20 процентов кабардинобалкарцем". Несмотря на нежелание возвращаться в Россию он отмечал высокое качество фундаментального образования в МФТИ: в 2006 году Гейм рассказывал, что те доли головного мозга, которые он потерял из-за алкогольных возлияний после экзаменов в институте, были заменены долями, занятыми полученной в институте информацией, которая ему никогда не пригодилась. Также он сотрудничал с Институтом физики твердого тела РАН в Черноголовке, где исследовали возможность создания графенового транзистора.

В прессе отмечали, что Гейм не обычный ученый, а по своей сущности ближе к изобретателю: он часто берет за основу первую попавшуюся идею и пытается ее развивать, и из этого, порою, выходит что-то интересное.

Гейм женат. Его супруга, Ирина Григорьева, русская, она кандидат наук, также с 2000 года работала в Манчестерском университете. У них есть дочь, гражданка Нидерландов. В свободное время Гейм увлекается альпинизмом.