Родился 23 января 1947 года. Вырос в районе Кожухово. После окончания средней школы № 509 поступил на завод-втуз при ЗИЛе, работал в механосборочном цехе. Работал тренером по гимнастике (1967—1974), тренером по дзю-до (1974—1980) в ДСО «Труд», в 1984 году окончил заочное отделение Московского областного педагогического института, получил специальность тренера-преподавателя.

В начале 1970-х годов по совету скульптора Александра Рукавишникова, Александр Иншаков стал тренироваться под руководством Алексея Штурмина. Через 3-4 года тренировок стал инструктором, получил черный пояс. Участвовал в соревнованиях — был абсолютным чемпионом на первом чемпионате Москвы в 1979 году. После запрета каратэ Александр ушел в «подполье», участвовал в показательных выступлениях.

Благодаря Алексею Штурмину Александр Иншаков попал в кино. Более 20 лет работает на киностудии «Мосфильм». Увлекается дайвингом, горными лыжами. Супруга — Терентьева Марина Леонидовна (1965 г.).