В молодости актёр любил отмечать праздники с друзьями и коллегами по театру: А.Мироновым, Г.Гориным, А.Хайтом.

Со своей женой Татьяной Игорь Кваша встретился в Крыму, в Ялте. Можно сказать, настоящий курортный роман. Когда возвращались в Москву, Игорь сделал Тане предложение. Прямо в метро. Вышли из поезда на станции «Площадь Революции», где Таня жила, и он предложил: «Выходи за меня замуж!» Она сказала: «Хорошо, давай!». С тех пор они прожили вместе 52 года. Когда пришли в загс оформлять отношения, Таня была с животиком, беременная. Свадьбу гуляли на широкую ногу.

В 1956 году у них родился сын Володя. Игорь уговаривал жену взять его фамилию, а она поставила условие: «Только если бросишь курить». Младший брат Петя её отговаривал: «Станешь ты Кваша — и пациенты не будут знать, женщина ты или мужчина! Ну что такое доктор Кваша?» Да и курить Игорь не бросил, как Таня ни уговаривала. Вот и оставила она свою фамилию — Путиевская.

Жена Игоря Владимировича Путиевская Татьяна Семеновна по образованию медик. По её стопам пошел и сын Владимир. Однако затем, из-за финансовых трудностей сын оставил профессию врача и занялся бизнесом.

В 1996 году родился внук И. В. Кваши Михаил.

И ещё о вкусах Игоря Кваши. Еда — кавказская кухня; напитки — водка и виски; писатели — Михаил Булгаков, Борис Пастернак; музыка — Вольфганг Амадей Моцарт, джаз; кино — «8 1/2» Феллини; авто — «порше»; домашнее животное — бультерьер Сара.

Болел за московский «Спартак».