Игорь Кваша родился 4 февраля 1933 года в Москве, в еврейской семье. Отец, доктор химических наук, заведующий кафедрой Московского химико-технологического института имени Д. И. Менделеева Владимир Ильич Кваша, погиб в 1943 году на фронте под Сталинградом. Мать, Дора Захаровна Кваша, сурдопедагог и дефектолог.

В 1955 году окончил Школу-студию МХАТ. С 1955 по 1957 год — актёр МХАТ им. М. Горького. С 1957 года — актёр московского театра «Современник».

Актер сыграл большое количество ролей в театре и кино. В кино Игорь Кваша дебютировал в 1961 году в фильме «В трудный час». А первой большой работой стала роль Карла Маркса в кинокартине «Год как жизнь». Он пробовал свои силы и в качестве режиссера, поставив спектакли: «Дни Турбиных», «Кот домашний средней пушистости», «Кабала святош» «Балалайкин и К°».

В начале 1990-х приглашался в жюри Высшей лиги КВН.

На протяжении нескольких лет Игорь Кваша являелся ведущим телевизионной передачи Первого канала «Жди меня».

В 2007 году была издана книга Игоря Кваши под названием «Точка возврата», в которой он подробно вспоминает о детстве и юности, о спектаклях и репетициях, о колоритном театральном быте, насыщая повествование яркими и точными деталями, в том числе и подлинными документами.

Скончался на 80-м году жизни 30 августа 2012 года в 17:00 в Москве.