Родился в городе Дятьково Брянской области. С 1 по 11 класс Алексей занимался вольной борьбой в спортивной школе олимпийского резерва. Он кандидат в мастера спорта России. Наиболее значительное достижение – победитель РК ФСО "Юность России" (2000 г.)

В 2002 года Алексей Анищенко поступил в ВТУ им. М.С. Щепкина на курс В.Н. Афонина. Будучи студентом 4 курса Алексей играл главную роль в спектакле "Годы Странствий", а также в дипломном спектакле "Репетируем Шекспира" роль Ромео, за которую получил премию "Золотой лист".

В 2004 году вышел многосерийный детектив "Крёстный сын", в котором снялся Алексей Анищенко вместе с Игорем Ливановым, Любовью Полищук и другими. В ноябре 2006 года начались съёмки в сериале "Тайные связи (Запретная любовь)", главную роль в котором сыграл его однокурсник Станислав Эрдлей. Но к сожалению этот сериал так и не попал в эфир. Это первый проект компании Fremantle Media, сделанный для РЕН ТВ. Сериал закрыли в феврале 2007 года.

Популярность Алексею принёс сериал "Дочки-матери" - детище продюсерского центра "ЛЕАН-М". Он сыграл роль Дениса, который влюблён в главную героиню Лилю. Его персонаж - мечта многих девушек - умный, обаятельный, заботливый, верный, искренний и честный... можно продолжать до бесконечности. Это настоящий рыцарь, случайно попавший в наше время. Он всегда защитит, поможет в трудную минуту. Неудивительно, что многим запомнился и понравился этот герой, а вместе с тем и актёр, который хорошо справился со своей ролью. Алексей Анищенко сказал, что "Дочки-матери" — это лучший из всех сериалов, в которых он работал.