Алексей «Алекс» Лень родился 16 июня 1993 года в украинском городе Антрацит.

Первые шаги в спорте Алексей начал делать в возрасте 10 лет, записавшись на секцию спортивной гимнастики, а также изредка посещая шахматный кружок.

В 2005 году тренер детско-юношеской баскетбольной команды «Мечта» А. В. Анохин предложил Алексею заниматься баскетболом, и уже весной 2006 года он отправился вместе с командой на первый для себя серьезный баскетбольный турнир – чемпионат Луганской области среди юношей 1992 года рождения.

Лето 2006 года Алексей Лень провел на сборах с Луганской ОСДЮШОР № 1.

Осенью 2006 года Алексея зачислили в Луганское высшее училище физической культуры, а также стал игроком юношеской баскетбольной сборной Луганской области, в составе которой в конце 2006 года принимал участие в чемпионате Украины среди юношей 1993 года рождения.

В 2007 году Алексей переехал в Днепропетровск, где стал учеником Днепропетровского высшего училища физической культуры, а также участником команды «ДВУФК-93».

В составе «ДВУФК-93» Алексей Лень становился чемпионом Всеукраинской Юношеской Баскетбольной Лиги, а также в сезоне 2007-2008 признавался лучшим ее центровым.

В 2009 году Алексей в составе юношеской баскетбольной сборной Украины принимал участие в Чемпионате Европы (U16), где был признан самым результативным игроком сборной (20 очков, 8 подборов и 2 передачи).

В 2010 году Лень вместе с молодежной баскетбольной сборной Украины выступал на Чемпионате Европы (U18), однако высоких результатов команде показать не удалось.

В 2010 году Алексей Лень подписал контракт с баскетбольным клубом «Днепр», в втором составе которого он в 2011 году стал чемпионом Украины среди дублирующих составов, а также был признан лучшим центровым турнира.

Летом 2011 года Алексей должен был участвовать в Универсиаде-2011, однако так и не явился на тренировочный сбор в сборную Украины, за что был дисквалифицирован ФИБА на год.

Тем же летом 2011 года тренер баскетбольной команды университета Мэриленда Гари Уильямс пригласил Алексея в свою команду и помог получить спортивную стипендию.

За свой первый сезон – 2011-2012 года - в составе баскетбольной команды университета Мэриленда Алексей провел на паркете в среднем чуть более 21 минуты за матч, и набирал 6 очков + 5,4 подбора + 2,1 блокшота за игру.

В сезоне 2012-2013 Алексей значительно увеличил свою результативность – в среднем проводя на паркете 26 минуты за мачт, он набирал 11,9 очка + 7,8 подбора + 2,1 блокшота за игру. Алексей сыграл значительную роль в некоторых важных матчах - против действующего чемпиона университета Кентукки, университета Северной Каролины, университета Дьюка и некоторых других.

27 июня 2013 года на драфте НБА Алексея под пятым номером выбрала команда «Финикс Санз», это стал лучший показатель среди украинских баскетболистов когда-либо выступавших в НБА.

В начале июля 2013 года во время обследования у Алексея был обнаружен перелом правой лодыжки, в результате 5 июля ему провели операцию, из-за чего он пропустил игры летней лиги НБА.

29 августа 2013 года он подписал контракт и в начале сентября приступил к тренировкам. Дебютный матч Алексея в НБА состоялся 1 ноября в домашнем победном матче против клуба «Юта Джаз».

20 ноября Алексей травмировал левое колено и выбил из игры на полтора месяца.

19 января 2014 года Алексей установил личный рекорд, сделав в матче против «Денвер Наггетс» 6 подборов и набрав 9 очок, а 29 января Лень впервые в карьере сделал 10 подборов за игру, в победной игре против «Милуоки Бакс».

Летом 2014 года Алексей Лень принимал участие в Летней лиге НБА, и в первой же игре против «Голден Стэйт Уорриорз» травмировал правый мизинец. Этот же палец он травмировал в игре против бразильского «Фламенго» 7 октября 2014 года, из-за чего выбил из игры на две недели.

31 октября Алексей сделал свой первый дабл-дабл, заработав в победном матче против «Сан-Антонио Спёрс» 10 очков и сделав 11 подборов. 17 ноября баскетболист поставил личный рекорд результативности в НБА – 19 очков за игру, в матче против «Бостон Селтикс».