Алекс Леапаи родился 16 октября 1979 года в деревне Лаули, Самоа.

У Алекса есть три брата – Леати, Стефано и Фаатни.

В возрасте семи лет Алекс вместе с родителями переехал жить в Новую Зеландию, где они жили, пока Алексу не выполнилось 12 лет.

В Новой Зеландии Алекс посещал школу Owairaka Primary School, за юниорскую регбийную команду которой выступал на различных соревнованиях.

В возрасте 12 лет семья Леапаи переехала в Австралию, где поселилась в городе Логан штата Квинсленд.

В Логане, Алекс выступал за команду «Logan Brothers» в юниорской регбийной лиге, а затем в Национальной регбийной лиге за клуб «North Queensland Cowboys».

В 2004 году Алекс начал карьеру профессионального боксера в тяжелой весовой категории. За год Алекс провел три поединка, первый бой против Марка де Мори, он провел в ничью, второй – выиграл нокаутом у Дэнни Моргана, а третий проиграл по очкам узбекистанцу Яну Кулькову.

В 2005 году ситуация повторилась, Алекс вновь провел три поединка и все с разными результатами для себя.

После второго поражения от австралийца Бадена Оуи в августе 2005 года, Алекс устроил драку в одном из ночных клубов, за что провел шесть месяцев в тюрьме.

На ринг Алекс вернулся в ноябре 2006 года и провел в течение двух недель два боя. В обоих боях он нокаутировал своих соперников.

Очередную победу нокаутом Алексу завоевал в феврале 2007 года в бою против Оскара Талемайра.

После еще двух побед Алекс вышел на бой за титул чемпиона тихоакеанского региона по версии OPBF против австралийца Нейтона Бриггса. Леапаи выиграл 12-раундовый бой нокаутом в 8 раунде.

В июне 2008 года, во время второй защиты титула OPBF в поединке против Колина Уилсона, Алекс раздельным решением судей потерпел поражение.

Следующий рейтинговый бой против бывшего чемпиона Африки Мохамеда Аззазоуи, Алекс Леапаи закончил досрочно во втором раунде.

Затем последовала серия из шести побед, четыре из которых Алекс завоевал нокаутом. Следующий бой против японца Котатсу Такехара закончился для бойцов ничьей.

После поединка с Такехарой Леапаи провел еще одну победную серию, на этот раз из девяти поединков, среди которых только один бой против Дарнелла Уилсона Алекс выиграл по очкам. Всех остальных соперников, среди которых были Трэвис Уокер, Оуэн Бек, Питер Охелло и Евгений Орлов, самоанский боксер отправил на настил.

В поединке против Питера Охелло Леапаи достался титул чемпиона Австралии по версии IBF, который дважды успешно защитил.

В апреле 2012 года Леапаи одержал свое четвертое поражение в карьере, боксер проиграл техническим нокаутом претенденту на титул чемпиона мира, американцу Кевину Джонсону.

В декабре 2012 года Алекс провел поединок с Акмалом Аслановым, который закончил нокаутом в 5 раунде. По результатам боя Леапаи стал обладателем азиатского и тихоокеанского титула по версии WBO.

В ноябре 2013 года Леапаи вышел на бой против российского боксера Дениса Бойцова. Поединок планировался как проходной для Бойцова, чтоб вывести его на чемпионский бой с Владимиром Кличко, но на ринге все вышло совсем иначе. Алекс победил Дениса по очкам, предварительно дважды отправив на канвас небитого россиянина.

Так Леапаи завоевал статус обязательного претендента на титул чемпиона мира по версии WBO, которым владеет украинец Владимир Кличко. Поединок, назначенный на 26 апреля 2014 года, был окончен досрочно в пятом раунде в пользу Кличко.