Родился 5 августа 1967 года в Свердловске. Сын скрипача Натана Козырева и кинорежиссёра Лии Козыревой.

Служил в Курганской области под городом Шадринск, где однажды получил 7 суток гауптвахты.

Окончил Свердловский государственный медицинский институт, лечебно-профилактический факультет (1992), в 1992—1994 обучался в США, в Помона-Колледже, Клермонт, Калифорния (отделение масс-медиа).

Свою первую радиопрограмму — «Музыка большевистских детей и бабушек» — организовал в 1992 в Лос-Анджелесе на студенческой радиостанции KSPC 88.7 FM. В 1993—1994 на радио «Трек» в Екатеринбурге делал программу «Голос Совести» (совместно с Михаилом Симаковым).

В столичный радиобизнес пришёл в 1994 в качестве программного директора радио Максимум, откуда был уволен в июле 1998.

Пик радио-карьеры Михаила Натановича пришёлся на 1996—2001 годы, когда мобильная связь и интернет были доступны только отдельным корпоративным клиентам и радио было значимым коммуникатором для молодёжи. Бурное проникновение связи и интернета отодвинули аналоговое эфирное радио глубоко на дальний план, превратив в фон в автомобильной поездке, отдельным же интернет-радиостанциям в эпоху mp3 собирать большую аудиторию было не суждено.

Перейдя работать в Логоваз, Козырев реализовал проект «Наше радио» (101.7 МГц в Москве, 104 МГц в Санкт-Петербурге, разные частоты в других городах), который стал ядром Козыревского продвижения альтернативной и рок-культуры. Козырев сформировал целую систему, в которую входили радио, издатели, фестиваль и группа звёзд альтернативной сцены, так или иначе раскрученных усилиями Козырева. Машина достигла пика к концу 2001 года и начала угасать.

Был автором идеи рок-фестиваля «Максидром». В 1998 стал генеральным продюсером компании «LNC» (впоследствии переименованной в News Media Radio Group) и новой радиостанции «Наше радио», со временем ставшей наиболее популярной рок-радиостанцией страны.

В 2000 реализовал свой давно задуманный революционный проект — легендарную радиостанцию «Ультра», которую, впрочем, под давлением инвесторов из-за нерентабельности закрыл через несколько лет (Спустя время радиостанция была вновь открыта в УКВ, так называемом «нижнем» или «советском» диапазоне, на частоте 70.19 МГц). «Ультра» является проводником американской тяжёлой музыки, хотя изначально в проекте звучали немногие российские исполнители.

В 2004 на частоте «Ультры» 100.5 МГц открыл радиостанцию «Best FM», основу формата которой составляют западные «золотые хиты» 60-90-х.

Был организатором рок-фестивалей «Нашествие» (проводятся ежегодно начиная с 1999, кроме 2003 и 2007), радиомарафона «Всё в наших руках» (в помощь пострадавшим от террористических актов 1999 года) и телемарафона «SOSтрадание» (в помощь пострадавшим от теракта в Беслане), ведущим «Чартовой дюжины» — еженедельного хит-парада «Нашего радио». Принимал участие в создании новогодней программы «Неголубой огонёк» на телеканале Рен-ТВ.

Был уволен с поста генерального продюсера «News Media Radio Group», «Нашего радио» и радио «Best FM» 1 февраля 2005. Негативная динамика финансовых показателей радиостанции и публичная занятость Козырева другими видами деятельности, раздражавшая американских владельцев компании, привели к отставке.

Лауреат национальной премии Попова, премий «Медиа-менеджер года», «Овация», «Триумф», «Знак качества» и «ТЭФИ».

С 2006 года ведет передачу «Мишанина» на радиостанции «Серебряный дождь».

В 2007 году вышел трехтомник «Мой рок-н-ролл», включающий в себя воспоминания о радиостанциях, мероприятиях и о заметных персонах современного шоу-бизнеса глазами Михаила Козырева.

10 сентября 2008 назначен генеральным продюсером Первого альтернативного музыкального телеканала A-One. Спустя несколько дней после этого события Михаил был жестоко избит на улице неизвестными, которые украли у него вещи. Вёл на телеканале программу «Мишанина».

Уволен с поста генерального продюсера A-One в апреле 2009 года.

4 августа 2009 года был ненадолго госпитализирован с диагнозом тромбофлебит.

С 2010 ведет на телеканале «Дождь — optimistic channel» (www.tvrain.ru) авторскую программу «Новый год с Михаилом Козыревым», а также является продюсером ночного эфира данного телеканала.

12 сентября 2011 года стал отцом двух дочерей: Елизаветы и Софьи.