Родился 27 апреля 1927 года в Москве. Подростком в годы войны обтачивал болванки для артиллерийских снарядов на заводе «Фрезер». В 1943-м он написал письмо Сталину, что хочет быть актером: «Уважаемый Иосиф Виссарионович, примите меня в искусство. Я рабочий завода СВАРЗ, болваночник, хочу быть в искусстве, участвовал в самодеятельности, работал в массовке на «Мосфильме». Но директор нашего завода препятствует этому стремлению. Я хочу быть как Станиславский, Немирович-Данченко». В ответ на имя директора пришла казенная бумага: «Рекомендовать товарища Моргунова в искусство!»

Учась на актерском факультете ВГИКа в 40-е, Моргунов был стройным, худощавым и довольно красивым юношей. Таким его можно увидеть в роли предателя Стаховича в фильме "Молодая гвардия". Но почему-то уже тогда в институтской стенгазете под рубрикой "Картинки будущего" Моргунова изображали очень толстым. Наверное, было с самого начала понятно, что хорошего актера должно быть много и худым он останется недолго. Студент ВГИКа, он дебютировал в фильме Александра Столпера «Дни и ночи», но по-настоящему его заметили в роли Стаховича из фильма «Молодая гвардия», который снял его учитель Сергей Герасимов. Мастерскую С. Герасимова и Т. Макаровой он закончил в 1948 году.

И хотя с этого времени вплоть до 1953 года Моргунов был актером Театра-студии киноактера, а в период с 1951 по 1953 гг. - актером академического Малого театра, снимать его в кино перестали. Лишь изредка выпадали проходные эпизоды во второсортных лентах. Некоторые кинокритики считают что виной тому удачная роль Стаховича. Удачная во всех отношениях, кроме карьеры для самого актера.

Личность Евгения Моргунова обросла легендами в артистической среде задолго до того, как он приобрел всенародную известность, снявшись в гайдаевских комедиях "Пес Барбос и необычный кросс", "Самогонщики", "Операция "Ы", "Кавказская пленница". Если считать Труса, Балбеса и Бывалого своеобразным воплощением трех национальных героев, трех мифологических богатырей, то Моргунов, безусловно, был самым главным - Ильей Муромцем, уверенным в себе и своей силе, которая переходит в наглость только от необузданной широты натуры. Перевоплощаться в Бывалого Моргунову было не нужно - фактически он играл самого себя. Например, прибавку к зарплате начинающего актера он получил в результате одной из своих рискованных шуток. Однажды в Театр киноактера приехали Молотов и Каганович, навстречу которым вышел Моргунов и представился худруком театра. В этом качестве он беседовал с ними больше часа и попросил повысить жалование артистам низшей категории, что и было сделано. Еще Моргунов любил подойти к кому-нибудь из пассажиров в вагоне метро, показать красную книжечку и сказать: "Пройдемте".

Поводив безропотного гражданина немного по улице, Моргунов великодушно отпускал его. Еще он любил на троллейбусной остановке оттянуть рога троллейбуса, попросить прохожего (неизменно принимавшего Моргунова за водителя из-за бедности костюма) подержать их и с интересом наблюдал за развитием событий. В транспорте Моргунов то и дело притворялся контролером, в ресторане - сотрудником органов, который следит за злоумышленниками и которому официанты просто боялись приносить счет. Моргунов славился умением бесплатно проходить везде - на стадион, в баню, бесплатно ездить на такси с помощью красной книжечки, похожей на служебное удостоверение, и нехитрых, но убедительных актерских навыков. Иногда он применял свой талант и в бескорыстных целях - однажды в Киеве он выдал себя за сына Павлика Морозова и на этом основании отнял хулигана у милиционеров.

Моргунов почитал талант Георгия Вицина. А вот Юрием Никулиным был недоволен, когда тот после «Кавказской пленницы», забыв о нём и Вицине, занялся собственной карьерой. Образ Бывалого, который прилип к нему намертво, мучил Моргунова до чрезвычайности.

Вскоре после небывалого успеха «троицы» и триумфального шествия фильмов с их участием, сам стал автором сценария и постановщиком фильма «Когда казаки плачут» по ранним рассказам Михаила Шолохова.

Михаил Козаков взял Моргунова в «Покровские ворота» на роль эстрадного куплетиста Соина. Многие пожалели, что режиссеры не использовали актера в драматических ролях. А он, видимо, и не просил. Евгений Моргунов часто в шутку повторял: «Я человек скромный, несмотря на свою порядочность».

Заслуженный артист России Евгений Александрович Моргунов умер в 1999 году, похоронен на Кунцевском кладбище.