Кубрат Венков Пулев родился 4 мая 1981 года в болгарском городе София, в семье известного болгарского боксера Венко Пулева. Кроме Кубрата в семье вырос еще один сын Тервел, также боксер, выступает на любительском ринге в тяжелом весе.

В 1994 году вместе с братом начал активно заниматься боксом в клубе ЦСКА, до этого их тренировал отец в подвале их дома.

Уже в 1998 году, в возрасте 17 лет, Кубрат Пулев был впервые вызван в национальную сборную Болгарии, а в 2002 году он достиг своего первого громкого успеха на международной любительской арене – выиграв «Кубок Странджа». В финале турнира болгарский боксер победил кубинского чемпиона мира Одланьера Солиса.

В 2005 году Кубрат завоевал бронзовую медаль Чемпионата мира по боксу среди любителей, который проходил в Китае. В полуфинале турнира Кубрат проиграл все тому же Одланьеру Солису.

В 2006 году Кубрат Пулев завоевал медаль такого же цвета на любительском Чемпионате Европы, а в 2008 году на этом же турнире Кубрат стал обладателем золотой медали.

В 2009 году Кубрат принимал участие в любительском Чемпионате мира, однако вылетел в 1/8 турнира от итальянского спортсмена Роберто Каммарелле.

19 сентября 2009 года состоялся дебют Кубрата на профессиональном ринге, в 4-раундовом поединке против румынского боксера Флориана Бенче. Кубрат победил своего соперника нокаутов во втором раунде.

До конца 2009 года Кубрат провел еще три поединка, против Сердара Усала, Гбенга Олоукуна и Зака Пейджа, в которых также уверенно одержал победы. Затем последовали победы еще в девяти поединках, что позволило ему, сразится за вакантный титул интернационального чемпиона по версии IBF.

22 октября 2011 года Кубрат Пулев провел 12-раундовый поединок против американского боксера Трэвиса Уолкера. Болгарский боксер победил по очкам и стал обладателем титула интернационального чемпиона по версии IBF.

14 января 2012 года Кубрат успешно провел первую защиту титула в поединке против Майкла Спротта, а 5 мая 2012 года в поединке против Александра Дмитренко второй раз защитил свой титул IBF, а также завоевал вакантный титул чемпиона Европы по версии EBU.

29 сентября 2012 года Кубрат в 11 раунде победил нокаутом белорусского боксера Александра Устинова, тем самым защитив свои титулы, а также выиграл полуфинал претендентского турнира IBF.

24 августа 2013 года болгарин выиграл финал претендентского турнира IBF в поединке против американца Тони Томпсона.

14 декабря 2013 года Кубрат успешно провел пятую защиту своего титула интернационального пояса по версии IBF, победив нокаутом в четвертом раунде американского боксера Джои Абелля.

5 апреля 2014 года состоялся 20 бой Кубрата Пулева на профессиональном ринге, болгарский боксер победил хорвата Ивицу Перковича в третьем раунде 8-раундового поединка.

9 мая 2014 года Кубрат был объявлен обязательным претендентом на титул чемпиона мира по версии IBF, что дало ему право встретиться в бою с чемпионом Владимиром Кличко. Изначально дата поединка была назначена на 6 сентября 2014 года, однако вскоре дату перенесли на 15 ноября 2014 года из-за травмы Владимира. Победу в поединке праздновал украинский боксер Владимир Кличко, нокаутировавший Кубрата в пятом раунде левым боковым ударом.