Андрей Леонов родился в семье знаменитого актера Евгения Леонова. На свет Андрей появился в 1959 году, когда его отец снимался в фильме «Полосатый рейс». Некоторые из окружения артиста рассказывали, что Евгений Леонов, забыв про страх перед тиграми, кинулся к ним в клетку и стал обнимать, узнав новость о рождении сына.

Андрей всегда с нежностью и трепетом вспоминает своего отца. Хотя Евгений и был постоянно занят на съемках, он по максимуму уделял внимание Андрюше. И сегодня Леонов-младший утверждает, что вырос в счастливой семье. Однако был случай, когда Евгений разозлился на сына. Из-за плохих оценок, артист взял чемодан, покидал туда вещи Андрея, схватил его и потащил на первый этаж дома. По дороге отец кричал, что сдаст его в школу-интернат. Но маленький Андрюша расплакался, и сердце Евгения Леонова сжалось. Он вернул сына домой.

В 1976 году Андрей поступил в Театральное училище им. Б. В. Щукина. Вскоре студента приняли в труппу театра Ленком, но через пару лет актер покинул работу, чтобы уйти в армию. Отец отговаривал от этого решения Андрея, но сын настоял на своем. Сейчас актер не жалеет о том, что служил в армии. Это помогло ему стать самостоятельным человеком.

После армии Андрей Леонов женился. Его супругой стала чилийская девушка Алехандра. Евгений свою невестку называл просто Сашей. В 1987 году у пары родился сын, которого они назвали в честь деда — Женей.

Впервые в кино Андрей снялся в 13-летнем возрасте. А затем в 1978 году он сыграл вместе с отцом в фильме «Обыкновенное чудо». Андрей испугался количества звезд в кадре на съемках этой картины. Но все к нему отнеслись хорошо, даже давали советы по работе.

После службы в армии актера вновь приняли в труппу Ленкома, где он до сих пор играет в спектаклях. Но вот в кино Андрей долгое время не появлялся. Зрители смогли его снова увидеть в сериалах «Женская логика», «На углу у Патриарших — 2» и «Есенин».

Популярность пришла к артисту, когда на экран вышел ситком «Папины дочки», где он сыграл Сергея Васнецова.