Филипп Котов родился в Барнауле 8 февраля 1989 года в актёрской семье. Родители Филиппа являются актёрами Нижегородского академического театра драмы им. М. Горького.

Мальчик с детства решил идти по стопам родителей, так как в театре проводил много времени. В свои пять лет он знал наизусть все монологи своего отца. Когда мальчику было три года его семья переехала в Нижний Новгород, там Филипп окончил 9 классов средней школы и, окончательно определившись с будущей профессией, поступил на отделение «Актёр драматического театра и кино» в Нижегородское театральное училище им. Е. А. Евстигнеева.

Ещё учась на 4-м курсе училища, Филипп Котов занял I место на проходившем в Самаре конкурсе Шукшина, а также получил в Москве Президентскую стипендию им. Соколоверова как лучший выпускник. В дипломных работах Учебного театра Котов сыграл роли Джорджа Гиббса в постановке «Наш городок», друг жениха в «Мещанской свадьбе», Вадима Дульчина в «Последней жертве». Кроме этого, он участвовал еще в нескольких спектаклях, в том числе в «Неоожиданное рядом».

В 2008 году, окончив училище, Филипп Котов переехал в Москву, где сразу же был принят в труппу Театра на Таганке. В этом театре юный актёр участвует в спектаклях «Горе от ума — Горе уму — Горе ума», «Арабески», «Мёд», «Живаго», «Мастер и Маргарита», «Электра», «Сказки», «Венецианские близнецы». Молодой актер востребован на российской театральной сцене.

В кино Филипп Котов начал сниматься в 2010 году в эпизоде сериала «Супруги». До этого он снялся у Никиты Михалкова в «Сибирском цирюльнике». Весной 2011 года на канале «ТНТ» стартовал комедийный телесериал Максима Пежемского «Зайцев+1», в котором актер играл главную роль студента-«ботаника» Сашу Зайцева. Прототипом его героя выступает Фёдор, которого исполнил Михаил Галустян.

В 2011 году Филипп Котов был приглашённой звездой в телепередаче канала ТНТ «Ешь и худей», а также сыграл небольшую роль в фильме «Борис Годунов» Владимира Мирзоева.