Рикман родился 21 февраля 1946 года в Хаммерсмите (Лондон). Когда ему было восемь лет, в семье произошло несчастье — умер отец, и мать осталась одна с четырьмя детьми. Алан с детства осознавал, что в жизни можно рассчитывать только на себя, и старательно учился. За успехи в школе Рикман получил стипендию престижной лондонской школы Latimer. В этой же школе он впервые вышел на сцену в любительской постановке.

Окончил университет Chelsea College Of Art And Design в 1967. После окончания колледжа Алан и пятеро его друзей открыли дизайн-студию в Сохо. Предприятие не приносило хороших денег. В 26 лет Рикман бросил дизайн и поступил в Королевскую академию драматического искусства. Он получил несколько премий за постановки, а также королевскую стипендию.

Первая главная роль в спектакле — виконт де Вальмон («Опасные связи»). Спектакль имел большой успех. Эта роль предопределила первые роли Рикмана в кино. После премьеры спектакля в Нью-Йорке в гримёрку к Рикману пришли продюсеры Джоэль Сильвер и Чарльз Гордон. Впечатлённые созданным им на сцене образом, они предложили Рикману вторую роль в проекте «Крепкий орешек» вместе с Брюсом Уиллисом. Фильм вышел на экраны в 1988 году. Следующая роль в фильме «Робин Гуд: Принц воров» (1992) укрепила представление о том, что Рикман очень хорошо играет злодеев.

Первую «положительную» роль ему дали в мелодраме «Искренне, безумно, сильно» (1991). Самая романтическая роль Рикмана — полковник Брэндон в экранизации романа Джейн Остин «Разум и чувства» (1995).

В 1996 году Рикман сыграл главную роль в фильме «Распутин», за которую получил премии «Золотой глобус» и «Эмми».

В 1997 году Алан попробовал себя в роли режиссёра. Он поставил спектакль, а затем снял фильм «Зимний гость» по пьесе Шарман МакДональд}.

В 2004 году Рикман взялся за постановку пьесы «Меня зовут Рэйчел Кори» о жизни американской активистки, выступавшей против израильского присутствия на западном берегу реки Иордан и войны в Ираке, погибшей под гусеницами израильского бульдозера. Спектакль был выпущен осенью 2005 года в Лондоне.

Многие поклонники Рикмана считают самой важной составляющей его успеха голос. Помимо необычного тембра голоса, актер владеет идеальным английским произношением и своеобразной манерой говорить.

Именно голос Алана Рикмана придал его герою профессору Северусу Снеггу из экранизации романов Дж. К. Роулинг о Гарри Поттере дополнительный шарм и сексуальность. Поттеромания привлекла повышенное внимание к Рикману со стороны фанатов Снегга. Многие считают, что роль Снегга нужно было отдать более молодому актёру. Но при кастинге сама Роулинг одобрила приглашение Рикмана на эту роль.

В 2006 году Рикман сыграл одну из главных ролей в фильме «Снежный пирог», а также роль купца в экранизации романа П. Зюскинда «Парфюмер. История одного убийцы».

В 2007 году исполнил роль судьи Тёрпина, антагониста главного героя, в фильме Тима Бёртона «Суини Тодд, демон-парикмахер с Флит-стрит».

В 2010 озвучил синюю гусеницу в мультфильме «Алиса в Стране Чудес».

Не женат, с 1965 г. живёт вместе с Римой Хортон в Лондоне, детей нет.