Родился 17 марта 1949 года в Донецкой области. Семья самая обычная, рабочая. У отца начались проблемы с лёгкими, и врачи вынесли приговор: жить можно только в Ялте, обладающей уникальным микроклиматом.

Здесь же закончил школу. И когда настало время выбора профессии, пошел на курсы звукорежиссёров при Ялтинской киностудии. Здесь-то его и заприметил Батюшка Роу - так его все называли.

Практически сразу по окончании съемок Алексея призвали в армию. Служить его направили на Дальний Восток, в Приморский край. Поначалу в армии его никто не узнал. А когда выяснили, кто у них служит, стали возить в качестве уникального экспоната по различным частям. Алексей выступал перед солдатами, рассказывал, как снимался фильм…

Однако вскоре служба для Алексея закончилась. Великий киносказочник Роу души не чаял в молодом артисте. Рассказывают, что он считал Алексея чуть ли не названым сыном. И когда он приступил к съемкам сказки «Варвара-краса, длинная коса», то ходатайствовал о переводе Катышева в Ленинград. Оставшуюся половину службы Алексей провел на съемочной площадке.

Александр Роу советовал Катышеву поступать во ВГИК. И, возможно, все было бы по-другому, если бы не смерть великого режиссера. После смерти режиссера все у Катышева пошло наперекосяк. Предложений сниматься становилось все меньше и меньше. Алексей снялся еще лишь в «Весенней сказке» по мотивам пьесы А. Островского «Снегурочка», после чего навечно расстался с кинематографом.

Что бы содержать семью, Алексей пошел учиться в автошколу. Получил права, устроился на 62-ю автобазу водителем молоковоза. Никак не ожидал, что за баранкой молоковоза он оттрубит почти 20 лет. Периодически Алексей пытался вернуться на киностудию, но безрезультатно.

28 ноября 2006 года Катышева доставили в ялтинскую больницу сильно избитого. Врачи обнаружили целый букет заболеваний. Спасти его уже было невозможно. Алексей Катышев умер 30 ноября 2006 года.